Pako suurimassaisesta mustasta aukosta

[Keckman]

Mitä suurempi massa mustalla aukolla on, sitä etäänpänä sen Schwarzschildin säde aukon keskipisteestä sijaitsee, kuten säteen ilmaisevasta kaavasta r=2Gm/c^2 näemme. Kun massa m kaksinkertaistuu niin sädekin kaksinkertaistuu, mutta painovoima putoaa puoleen Schwarzschildin säteen etäisyydellä. Voimme kuvitella miljardien tähtien massaisen mustan aukon, jonka Schwarzschildin säteen etäisyydellä painovoima on ihmiselle siedettävä 10 m/s^2. Ihmettelen ensiksi sitä, että mitä merkitystä pelkällä pakonopeudella on, vaikka se olisi valon nopeuttakin suurempi? Pääseehän rakettikin Maan painovoima kentästä Kuun painovoima kenttään kunhan vain tarpeeksi kauan pitää Maan painovoimaa voimakkaampaa rakettien työntövoimaa päällä - niin kauan, että Kuun painovoima kenttä kasvaa voimakkaammaksi. Ei raketteja heitetä maasta pakonopeudella ilmaan. Samoin on asia Schwarzschildin säteen etäisyydellä olevan raketin kanssa: ei sen tarvitse saavuttaa valonnopeutta päästäkseen pois toisen taivaan kappaleen painovoimakenttään; riittää että sen raketit pitävät suurempaa työntövoimaa kuin mustan aukon vetovoima, joka suurimassaisella mustalla aukolla voi olla vaivaiset 10 m/s^2. Ja tietenkin tuo voima ja pakonopeus sen kuin vain pienenevät mitä etäämmälle raketti pääsee.

Jos raketti sammuttaa moottorinsa niin sitten tarvitaan pakonopeus, jotta se pääsisi pois painovoima kentästä. Samoin on Maapallonkin kanssa. Painovoimahan ulottuu äärettömiin (sikäli kun maailmankaikkeus olisi ääretön, tai etenee ainakin valonnopeudella) ja kaikki ylöspäin heitetyt kappaleet putoavat takaisin Maapallolle elleivät ne saavuta pakonopeutta n. 11 km/s. Rakettien on se saavutettava, koska niissä moottorit sammutetetaan - paitsi jos on tarkoitus matkustaa Kuuhun niin riittää että noustaan vaikka kuinka hitaasti moottoreita käyttäen etäisyydelle, jossa Kuun painovoima voittaa Maan painovoiman. Eli mustasta aukosta poistumista helpottaisi entiseestään jos sitä kiertäisi etäänpänä kuin Schwarzschildin säde jokin planeetta, jota kohti lennetään raketilla moottoreita käyttäen.

[jussi_k_kojootti]

Mustan aukon lähellä kiertävä planeetta (tai mieluummin toinen musta aukko) pienentää aukon Schwarzschildin sädettä, mutta säteen "sisäpuolella" pakonopeus on silti > c, eikä pois pääse.

[Keckman]

mutta säteen "sisäpuolella" pakonopeus on silti > c, eikä pois pääse.

Mitä virkaa pakonopeudella on vaikka se on >c?. Eikö riitä, että raketilla on työntövoimaa enemmän kuin painovoima on Schwarzschaldin säteen kohdalla tai vaikka vähän sen sisäpuolella?

[jussi_k_kojootti]

Mitä virkaa pakonopeudella on vaikka se on >c?. Eikö riitä, että raketilla on työntövoimaa enemmän kuin painovoima on Schwarzschaldin säteen kohdalla tai vaikka vähän sen sisäpuolella?

Massalliset kappaleet ei koskaan saavuta valonnopeutta.  Vaikka mitä yrittäisit, niin viime kädessä lisäisit vain kiihdyttämäsi kappaleen relativistista massaa (ja lisäkiihdytys olisi entistä vaikeampaa).  Myöskään relativistisessa tarkastelussa nopeudet eivät summaudu arkikokemuksesta tutulla tavalla, vaan likivalonnopeuden lisääminen likivalonnopeuteen on yhä pienempi kuin valonnopeus.

[Keckman]

Käsitit pointtinini nyt aivan väärin. Raketin ei tarvitse saavuttaa kuin nopeus 1 m/s jos se on metrin Schwarzildin säteen sisäpuolella, ja sen se saa kunhan sen raketit antavat sille hetken aikaa pikkasen enemmän työtövoimaa kuin tuon kuvailemani mustan aukon Schwarzschaldin säteen etäisyydellä oleva vaivainen 10 m/s^2 putoamiskiihtyvyys eli vähän suurempi kuin Maa planeetan pinnalla.

[naavis]

Tätä ongelmaa ei voi varsinaisesti lähteä ratkomaan newtonilaisella fysiikalla. Avuksi täytyy ottaa yleinen suhteellisuusteoria. Kannattaa lukaista esimerkiksi tämä sivu, jolla on pohdittu aivan samaa kysymystä: http://physics.stackexchange.com/questions/36251/gravity-on-supermassive-black-holes-event-horizon

[Keckman]

Pakko ehkä luovuttaa, sillä englannin kielen taitoni ei riitä, että ymmärtäisin tarpeeksi hyvin  antamasi linkin tekstiä.

Mutta näissä yhteydessä on väärin perustella, että mikään ei pääse pois mustasta aukosta vain siksi että pakonopeus on c. Maapallolla pakonopeus on 11,7 km/s ja pääsee maan pinnalta pois vaikka heittäisi palloa nopeudella 3 m/s. Tosin vain vähäksi aikaa eli se putoaa takaisin. Luulin, että pakonopeus mustan aukon yhteydessä tarkoittaisi samaa, eli että valon säde pääsee kyllä pois mutta sen rata kaareutuu takaisin tms...mutta ei näköjään tarkoita jos 1 cm Schwarzschildin säteen sisäpuolelta olevasta taskulampusta ei pääse yhtäkään fotonia pois aukosta edes 1 cm:n päähän. Mitä niille sitten tapahtuu? Pysähtyykö aika (kenen tarkkailijan silmissä)? Ei voi sillä painovoimakenttä ei ollut tässä esimerkissä kuin 10 m/s^2. Kaareutuuko niiden säde? Ei voi samasta syystä. En ymmärrä.

Pakonopeudesta c ei voida oikeastaan edes puhua. Pakonopeus lasketaan massalliselle (jota ei voida heittää nopeudella c) kappaleelle ja siten, että ylös heitetyllä kappaleella on liike-energiaa alussa saman verran kuin sillä on potentiaali energiaa kun sitä lasketaan integroimalla äärettömyyteen. Pakonopeudella heitetty kappale siis hidastaa ja hidastaa kulkuaan, mutta ei koskaan palaa takaisin. Fotonilla, joka liikkuu nopeudella c taas ei ole massaa, joten sillä ei ole potentiaali energiaa eikä sen nopeus voi muuttua eikä sillä ole edes alussa mitään liikenergiaa. Ja jos fotoni 1 cm:n päästä Schwarzschildin säteestä pääsisi 1 cm ulkopuolelle, niin silloin se pääsisikin pois, sillä fotonihan ei hidastu ja ulkopuolella pakonopeus ei olekaan enää c vaan pienempi. Toistan tämän viestin edellisen kysymykseni: mitä tapahtuu 1 cm päästä ssisäpuolelta lähetetylle fotonille? Toivon vastausta tai edes sen hahmottelua selvällä suomenkielellä tällä areenalla sellaiselta,, joka katsoo näitä asioita ymmärtävänsä ja osaa siis omin sanoin selittää, enkä linkkiä jonnekin raskaslukuiseen opukseen.

[Timo Kantola]

Voimme kuvitella miljardien tähtien massaisen mustan aukon, jonka Schwarzschildin säteen etäisyydellä painovoima on ihmiselle siedettävä 10 m/s^2.

En ole ihan varma, mutta onko tuossa sinulla joku ajatusvirhe?

Schwarzschildin säteen pinta toimii tapahtumahorisonttina:
Tapahtumahorisontista taas kerrotaan: "Rajapinnassa pakonopeus vastaa valon nopeutta. Koska minkään kappaleen nopeus ei nouse yli valon nopeuden, ei rajapinnan ulkopuolelle voi päästä yksikään hiukkanen. "

http://fi.wikipedia.org/wiki/Schwarzschildin_s%C3%A4de
http://fi.wikipedia.org/wiki/Tapahtumahorisontti

Eli käsitykseni mukaan Schwarzschildin säteen pintanalla painovoiman kiihtyvyys ei ole 10 m/s^2 , vaan lähempänä 300 000 000  m/s^2

...tuon kuvailemani mustan aukon Schwarzschaldin säteen etäisyydellä oleva vaivainen 10 m/s^2 putoamiskiihtyvyys eli vähän suurempi kuin Maa planeetan pinnalla.

Miten saat mustanaukon Schwarzschaldin säteen etäisyydelle 10 m/s^2 putoamiskiihtyvyyden?

[Umbra]

Kommentoin asiaa, vaikka en katso sitä erityisesti ymmärtäväni.

"Ihmettelen ensiksi sitä, että mitä merkitystä pelkällä pakonopeudella on, vaikka se olisi valon nopeuttakin suurempi? Pääseehän rakettikin Maan painovoima kentästä Kuun painovoima kenttään kunhan vain tarpeeksi kauan pitää Maan painovoimaa voimakkaampaa rakettien työntövoimaa päällä"

Tämä ehkä periaatteessa olisi näin, mikäli raketilla olisi käytössään rajaton ja ilmainen energianlähde. Musta aukon koon kasvaessa painovoima tapahtumahorisontissa kyllä pienenee, mutta samalla pidentyy se matka, jonka raketti joutuisi taistelemaan painovoimaa vastaan kiivetessään pois painovoimakentästä. Olettaakseni nettotulos on se, että raketti joutuisi käyttämään koko lepomassansa polttoaineena - vaikka rakettimoottorit toimisivat 100% hyötysuhteella.

Kysymys mitä tapahtuu juuri ja juuri tapahtumahorisontin alapuolella olevasta taskulampusta lähteville fotoneille on hyvin mielenkiintoinen. Kysymystä mutkistaa se, että käytännössä lienee mahdotonta sijoittaa taskulamppua tällaiseen sijaintiin ainakaan pysyvästi. Voidaan kuvitella horisontin yllä leijaileva avaruusalus, josta käsin astronautti ojentaa kätensä ja asettaa lampun  horisontin alapuolelle. Mutta mustaa aukkoa lähestyvää alusta luullakseni vaivaa sama bensan loppumisen ongelma kuin edellä pohtimassani tapauksessa. Jos alus yrittäisi  pysähtyä leijumaan horisontin läheisyyteen, se joutuisi käyttämään jarruttamiseen kaiken energiansa. Toisaalta voidaan kuvitella tilanne, jossa kaksi alusta putoaa mustaan aukkoon peräkkäin. Näkevätkö jäljempänä tulevan aluksen matkustajat edellä kulkevan aluksen perävalojen äkkiä katoavan sen ylittäessä horisontin?

Veikkaisin, että tässä on kyse jostain suhteellisuusteoreettisesta erityisilmiöstä, jonka hahmottaminen on vaikeaa intuitiivisesti tai newtonilaisen mekaniikan avulla. Kuinka esimerkiksi ajan hidastuminen vaikuttaa asiaan? Käsittääkseni mustaan aukkoon putoava kappale näyttää kaukaisen havaitsijan näkökulmasta putoavan aina vain hitaammin ja muuttuvan aina vain himmeämmäksi, eikä havaitsija näe sen koskaan ylittävän horisonttia. Tässä tapauksessa taskulamppu-kysymys ei olisi relevantti, ainakaan kaukana sijaitsevan havaitsijan näkökulmasta.  Tämä ei toisaalta välttämättä päde peräkkäin putoavien alusten tapauksessa.

[Umbra]

"Eli käsitykseni mukaan Schwarzschildin säteen pintanalla painovoiman kiihtyvyys ei ole 10 m/s^2 , vaan lähempänä 300 000 000  m/s^2"

Minun käsityksen mukaan suurikokoisen mustan aukon horisontissa painovoiman kiihtyvyys voi olla hyvinkin pieni.  Schwarzschildin säde on suoraan verrannollinen mustan aukon massaan, kun taas painovoima on suoraan verrannollinen massaan ja kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Eli aukon massan kaksinkertaistuessa painovoiman kiihtyvyys horisontissa putoaa puoleen.

[Timo Kantola]

Minun käsityksen mukaan suurikokoisen mustan aukon horisontissa painovoiman kiihtyvyys voi olla hyvinkin pieni.

Jaa, sanotaanko sitä enään tapahtumahorisontiksi, jos suurikokoisen mustan aukon horisontissa painovoiman kiihtyvyys on esimerkiksi tuo vaivaiset 10 m/s^2? Silloin ei luulisi fotoneilla olevan vaikeuksia  karata?
Taidan jäädä kuuntelulle kun en oikeen ymmärrä.

[naavis]

Jaa, sanotaanko sitä enään tapahtumahorisontiksi, jos suurikokoisen mustan aukon horisontissa painovoiman kiihtyvyys on esimerkiksi tuo vaivaiset 10 m/s^2? Silloin ei luulisi fotoneilla olevan vaikeuksia  karata?
Taidan jäädä kuuntelulle kun en oikeen ymmärrä.

Samalla tavalla se tapahtumahorisontti käyttäytyy suurellakin mustalla aukolla. Vaikka painovoiman aiheuttama putoamiskiihtyvyys olisikin sen 10 ms^-2 tapahtumahorisontissa, suhteellisuusteoreettisista syistä mikään ei pääse karkaamaan ulos. Asiaa on vaikea selittää perehtymättä suhteellisuusteorian matikkaan, enkä itsekään ole minkään sortin asiantuntija. Mutta newtonilaisesta mekaanista lähtevällä päättelyllä ei tässä tilanteessa päädy kuin tällaisiin paradokseihin, jotka eivät vastaa todellisuutta.

[Timo Kantola]

Hakkaampa päätä hieman seinään.

Ymmärtäisin Wikistä lukemani perusteella:

"Rajapinnassa pakonopeus vastaa valon nopeutta. Koska minkään kappaleen nopeus ei nouse yli valon nopeuden, ei rajapinnan ulkopuolelle voi päästä yksikään hiukkanen. Rajapinnan sisäpuolella pakonopeus kasvaa valon nopeutta suuremmaksi, joten edes valo ei pääse karkaamaan tapahtumahorisontin ulkopuolelle. Ulkopuolella pakonopeus on valon nopeutta pienempi, jolloin pakeneminen on vielä mahdollista." http://fi.wikipedia.org/wiki/Tapahtumahorisontti

...että tapahtumahorisontin rajapinnalla pakonopeus on valonnopeus (300 000km/s^2) eikä mitään esim. 10m/s^2. Tai sitten en vain ymmärrä lukemaani.

[Keckman]

Mustan aukon koon kasvaessa painovoima tapahtumahorisontissa kyllä pienenee, mutta samalla pidentyy se matka, jonka raketti joutuisi taistelemaan painovoimaa vastaan kiivetessään pois painovoimakentästä.

No eihän painovoimakentästä koskaan pääse kiipeämään pois: sehän ulottuu kenties äärettömiin (tai ainakin maailmankaikkeuden toiselle laidalle).

Ja mikä matka pitenee? En minä kuvitellut, että raketti matkustaisi mustan aukon keskipisteestä pois, vaan että se on tullut ulkoapäin ja muutaman metrin Schwarzschildin säteen sisäpuolelle. Mitä taistelemista sillä siinä on 10  m/s^2 painovoimakentässä? Pikkasen suurempi voima millä raketti leijuu maanpinnalla, missä painovoima on 9,81 m/s^2.

[Keckman]

2.

Miten saat mustanaukon Schwarzschaldin säteen etäisyydelle 10 m/s^2 putoamiskiihtyvyyden?

Lue ensimmäisen viestini alku uudestaan: mitä massiivisempi musta aukko sitä etäänpänä sen Schwarzwaldin säde ja sitä heikompi painovoima siellä on vaikka massa kasvaakin niin painovoima kasvavan etäisyyden takia pienenee. Painovoima pienenee 1/r^2 tekijällä kun taas Schwarzwaldin säde kasvaa vain tekijällä r.

Lasketaanpa hieman. Pako nopeus v M massaisen planeetan pinnalla lasketaan kaavalla:
v=sqrt(2GM/r), laitetaan siihen v:ksi c ja ratkaistaan r. Saadaan:

Schwarzaldin säde: r=2GM (lue Wikipediaasta jos et usko)
Kahden kappaleen välinen vetovoima lasketaan kaavalla: F=GmM/r^2.

Kasvatetaan nyt massaa M kolminkertaiseksi saadaan r=2G3M, se siis kolminkertaistui myös. Mutta miten käy vetovoimalle? F=Gm2M/((3r)^2). Se pieneni tekijällä 3/9=1/3