Vapaata ihmettelyä

Aloittaja Untamo, 15.03.2010, 19:20:56

« edellinen - seuraava »

GaryP

Dejavuuu...

Tätä taisin aikaiemminkin kysyä ilman vastausta.

Jos kuvitellaan kolme pistettä jotka liikkuvat avaruudessa samaa nopeutta, pyörimätön pallo ja sen keskustassa yksi kello, pallon pinnalla toinen kello, ja kolmas kello kauempana pallosta. Kenen aika kuluu mitäkin vauhtia? Avaruudessa kaukana ja pallon keskellähän pitäisi olla sama(hko) gravitaatio. Vai?

Jostain syystä muistelen että avaruudessa aika kuluu hitaammin, mutta oliko kyseessä kuitenkin tilanne jossa kiertoradalla kuljetaankin nopeammin ja siitä johtuen tämä vaikutus?

Päässä pörisee kun ei ole mitään koulutusta tällaiseen, ei ihme että vesa_k haluaa myös ymmärtää paremmin.

Kari
Kari Pulkkinen
Espoo, Finland

Harrastus uudelleen lämpiämässä...

naavis

Lainaus käyttäjältä: mistral - 26.08.2010, 23:18:18
"Katsooko" kello g-voimaa vai gravitaatiokuopan syvyyttä tikittäessään?

Nämä kaksi ovat käytännössä sama asia.

mistral

Lainaus käyttäjältä: naavis - 27.08.2010, 09:54:03
Nämä kaksi ovat käytännössä sama asia.

Jos nämä olisivat sama asia, täytyisi gravitaatiokuopan pohjalta nousta vuori, jonka huippu olisi maaston pinnalla :smiley: Mielestäni näin ei kuitenkaan ole, kuoppa on potentiaalikuoppa.

naavis

Lainaus käyttäjältä: mistral - 27.08.2010, 10:47:38
Jos nämä olisivat sama asia, täytyisi gravitaatiokuopan pohjalta nousta vuori, jonka huippu olisi maaston pinnalla :smiley: Mielestäni näin ei kuitenkaan ole, kuoppa on potentiaalikuoppa.

Gravitaatiokuoppa on hieman hämäävä käsite, mitään varsinaista "kuoppaa" ei ole olemassa. Nyt kun tarkemmin ajattelen, niin näissä jutuissa voi kyllä sinänsä olla perää, että massa kaareuttaa avaruutta ja avaruuden kaareutuminen hidastaa ajan kulkua. Näin ollen myös maan keskipisteessä ajan pitäisi kulkea hitaammin kuin pinnalla. Odottelen kuitenkin vastausta ketaraxilta, hän nämä asiat hallitsee paremmin. :cheesy:

jussi_k_kojootti

#289
Vastauksia joihinkin niistä kohdista joihin Naavis ei vielä vastannut ...

Lainaus käyttäjältä: mistral - 26.08.2010, 23:18:18
Jos se "katsoo" g-voimaa, olisi yhtälailla neutronitähden ytimessä sama aika kuin ulkoavaruudessa, mustasta aukosta ei tiedä jos singulariteetissa aikaa ei ole.

Kyllä, neutronitähden ytimessä pitäisi päteä painovoiman suhteen samat säännöt kuin Maassakin.  Paine on tolkuton, painovoima mitätön.

Lainaa
Tästä tuli mieleen kaksos-paradoksi, miksi toinen vanhenee vaikka molemmat liikkuvat toistensa suhteen yhtä kovaa. Eli johtuuko matkalle lähtevän kaksosen hitaampi vanheneminen g-voimista?

Kyllä.  Paradoksi voidaan "aukaista" useammallakin tavalla, mutta yksi yleinen tapa on tarkastella koko avaruusmatkaa nimenomaan gravitaatiosta aiheutuvan aikadilataation perspektiivistä.  Pitäisi luntata, mutta oisko se nyt mennyt niinkin yksinkertaisesti, että avaruusmatkaavaan kaksoseen vaikuttaa matkan alussa, käännöspisteessä ja lopussa kiihtyvyyksiä, jotka yleisen suhteellisuusteorian puitteissa voidaan aina tulkita gravitaationa, ja joilla ikäero matkan jälkeen selittyy.

Lainaus käyttäjältä: GaryP - 27.08.2010, 08:43:27
Tätä taisin aikaiemminkin kysyä ilman vastausta.

Muistaakseni se aiempi kysymys oli hirmuisesti vaikeampi, eikös siinä ollut pyöriviä koordinaatistoja :grin:

Lainaa
Jos kuvitellaan kolme pistettä jotka liikkuvat avaruudessa samaa nopeutta, pyörimätön pallo ja sen keskustassa yksi kello (0), pallon pinnalla toinen kello (1), ja kolmas kello (2) kauempana pallosta. Kenen aika kuluu mitäkin vauhtia? Avaruudessa kaukana ja pallon keskellähän pitäisi olla sama(hko) gravitaatio. Vai?

Kuvitellaan vielä neljäs piste (3) hyvin kaukana avaruudessa (0-painovoimakentässä), josta käsin kelloja havaitaan.  Lisäsin lainaukseen numerot kelloille.

Neljännestä pisteestä käsin tarkasteltuna pallon keskustassa oleva kello tikittää samaa vauhtia kuin itse neljännen pisteen kello, kutsukaamme tätä ajaksi ajan kulkuvauhdiksi t0.   Pallon pinnalla oleva kello käy hieman hitaammin, t1, ja pallon rinnalla avaruudessa kiitävä kello käy vauhdilla t2.  Nyt t1 < t2 < t0 -- eli pisteissä 0 ja 3 kellot käyvät nopeimmin (ja keskenään samaa vauhtia), ja pisteen 2 kello nopeammin kuin pisteen 1.  Toisin sanoen pallon pinnalla gravitaatiokentän voimakkuus on tässä esimerkissä suurin, ja siellä kellot tikittävät suhteellisesti hitaimmin.

Edit: korjasin notaatiota/kielenkäyttöä, eikä se vieläkään ole hyvä (yleensä parametrillä t merkataan aikaa, tai aika-intervallia).

Lainaa
Päässä pörisee kun ei ole mitään koulutusta tällaiseen, ei ihme että vesa_k haluaa myös ymmärtää paremmin.

Koulutuksesta huolimatta pörisee, viestin kirjoittamiseen kuluu tunti, tilanne täytyy miettiä alusta alkaen ja vähintään kahteen kertaan, ja sittenkin jää semmoinen olo että meniköhän tämä nyt väärin jossain kohdassa vaiko kaikissa.  :grin:

Yksi syy siihen että uskaltudun näitä julkisesti pähkäilemään on juuri se, että joku saattaa korjata omia väärinkäsityksiäni!

Lainaus käyttäjältä: mistral - 27.08.2010, 10:47:38
Jos nämä olisivat sama asia, täytyisi gravitaatiokuopan pohjalta nousta vuori, jonka huippu olisi maaston pinnalla :smiley: Mielestäni näin ei kuitenkaan ole, kuoppa on potentiaalikuoppa.

"Gravitaatiokuoppa" on havainnollistava analogia klassisen mekaniikan gravitaatiopotentiaalille, eikä sitä ehkä pitäisi käyttää tämmöisessä selvästi suhteellisuuteen painottuvassa tarkastelussa.  Mutta käytetään nyt kuitenkin.  Eli: mietipäs tarkemmin.  Miten maan keskipisteessä voisi olla gravitaatiokuoppa, ellei kuoppaa ympäröisi gravitaatiovuori(sto)?  Jos Maan keskipisteestä aikoo takaisin pinnalle, täytyy käyttää energiaa tuon vuoren valloittamiseen.  Vähäinenkin poikkeama keskipisteestä johonkin suuntaan johtaa siihen, että "alapuolella" on enemmän massaa kuin "yläpuolella", jolloin G != 0 ja suunta kohti keskipistettä.

Lainaus käyttäjältä: naavis - 27.08.2010, 10:59:13
Nyt kun tarkemmin ajattelen, niin näissä jutuissa voi kyllä sinänsä olla perää, että massa kaareuttaa avaruutta ja avaruuden kaareutuminen hidastaa ajan kulkua. Näin ollen myös maan keskipisteessä ajan pitäisi kulkea hitaammin kuin pinnalla.

Näin -- jos Maan massa olisi keskittynyt yhteen pisteeseen, aivan keskelle.  Tosiasiassa massa on jakautunut koko tilavuuteen, ja esimerkiksi keskipisteessä sijaitsevan kuutiometrin massa lienee jossain 8000kg:n paikeilla (raudan ja nikkelin tiheyksistä arvioiden). Kun puhutaan "Maan keskipisteestä, jossa G = 0" niin kyse ei ole edes tilavuudesta, joten keskipisteessä massaakin on periaatteessa nolla grammaa.

jussi kantola / oulun arktos
CG-5 GOTO + KWIQ-guiding + SW80ED  // 10" dobson // canon eos 450d mod & 400d / ASI 120MM
http://astrobin.com/users/jussi_k_kojootti/
http://oulunarktos.fi/

mistral

Lainaus käyttäjältä: ketarax - 27.08.2010, 11:37:56
"Gravitaatiokuoppa" on havainnollistava analogia klassisen mekaniikan gravitaatiopotentiaalille, eikä sitä ehkä pitäisi käyttää tämmöisessä selvästi suhteellisuuteen painottuvassa tarkastelussa.  Mutta käytetään nyt kuitenkin.  Eli: mietipäs tarkemmin.  Miten maan keskipisteessä voisi olla gravitaatiokuoppa, ellei kuoppaa ympäröisi gravitaatiovuori(sto)?  Jos Maan keskipisteestä aikoo takaisin pinnalle, täytyy käyttää energiaa tuon vuoren valloittamiseen.  Vähäinenkin poikkeama keskipisteestä johonkin suuntaan johtaa siihen, että "alapuolella" on enemmän massaa kuin "yläpuolella", jolloin G != 0 ja suunta kohti keskipistettä.

Alunalkaen havainnollistus kuulasta joka on painuneena kumikalvolla kertoo avaruuden kaareutumisesta. No, onko tässä analogiassa se virhe, että kumikalvo näyttää tavalliselta kuopalta vaikka sen keskellä olevan alueen pitäisi nousta terävänä vuorena kalvon yläreunan tasalle? (terävän vuoren huippu kuvaa esm maan ytimen 0-gravitatiota)

Jos analogia on totuudenmukainen (ilman keskellä olevaa vuorta), avaruus on voimakkaimmin  kaareutunut maan ytimessä.

Siis onko kumikalvohavainnollistus harhaanjohtava?

jussi_k_kojootti

#291
Lainaus käyttäjältä: mistral - 28.08.2010, 14:50:03
Alunalkaen havainnollistus kuulasta joka on painuneena kumikalvolla kertoo avaruuden kaareutumisesta. No, onko tässä analogiassa se virhe, että kumikalvo näyttää tavalliselta kuopalta vaikka sen keskellä olevan alueen pitäisi nousta terävänä vuorena kalvon yläreunan tasalle? (terävän vuoren huippu kuvaa esm maan ytimen 0-gravitatiota)

Hmm.  Olen siis itse tosiaankin tottunut jäsentämään asiat niin, että newtonin mekaniikan gravitaatiopotentiaalin minimikohdat ovat "gravitaatiokaivoja", ja että tämä nimi on (puolihuolimattomasti, ja vain suomenkielessä?) siirretty suhteellisuusteorian avaaruden kaareutumista havainnollistavalle kumikalvon montulle.

Lainaa
Jos analogia on totuudenmukainen (ilman keskellä olevaa vuorta), avaruus on voimakkaimmin  kaareutunut maan ytimessä.
Siis onko kumikalvohavainnollistus harhaanjohtava?

Kumikalvoanalogia ei ole totuudenmukainen -- ensinnäkin siinä 3-ulotteinen avaruus esitetään 2-ulotteisena, kaareutumassa kolmanteen tilaulottuvuuteen.  Tosiasiassa neliulotteinen aika-avaruus (jossa neljäs ulottuvuus, aika, ei ole "samanlainen" kuin 3 tilaulottuvuutta -- esim. ajan Lorentz-muunnos koordinaatistojen välillä on matemaattisesti eri muotoa kuin x, y ja z:n) ei kaareudu mihinkään viidenteen tila- tai muuhunkaan ulottuvuuteen, vaan kyse on itse neliavaruuden määrittelevän metriikan ominaisuudesta.  Ongelma tässä on paitsi itse 4-avaruuden mieltämisen vaikeus/mahdottomuus, myös se että jo käsite "kaareutuva avaruus" ei tarkoita GR:ssä (yhtälötasolla) aivan sitä mihin olemme tottuneet arkikielessä ja -kokemuksessa.  Havainnollistukset ja analogiat voivat kyllä auttaa ymmärtämään GR:ää "pintapuolisesti", mutta todellisuuden olemuksen käsittämiseen GR:n termein täytyy uskoakseni edelleenkin nielaista sen matematiikka (joka on kuuluisa haastavuudestaan).

Itse en ole tätä tehnyt.  Hanskaan/hanskasin aikoinaan erikoisen suhteellisuusteorian (matematiikkoineen, joskin metrisen perustensorin käsittely ja sen fysikaalinen merkitys alkoi jo olla minulle haastavaa -- ja siitä GR oikeastaan vasta alkaa).  Tästä on jonkinlaista apua kun yritän ymmärtää GR:ää, mutta pintapuoliseksi ymmärrys minullakin jää -- juuri enempää en pysty sanomaan kuin että "kumikalvo ei ole totta".

Esimerkiksi Maan ytimen painovoimaa tarkasteltaessa kumikalvoanalogia antaa väärän "ennustuksen" -- siis että keskellä pitäisi olla suuri painovoima.

Edit: luovun tuosta gravitaatiovuori-termin käytöstä kokonaan.  Maan pinnalta avaruuteen lähtevä raketti "kiipeää gravitaatiokaivosta gravitaatiovuorelle", vaikka painovoima matkan aikana jatkuvasti pienenee.  Termi itsessään on harhaanjohtava.
jussi kantola / oulun arktos
CG-5 GOTO + KWIQ-guiding + SW80ED  // 10" dobson // canon eos 450d mod & 400d / ASI 120MM
http://astrobin.com/users/jussi_k_kojootti/
http://oulunarktos.fi/

jussi_k_kojootti

Lainaus käyttäjältä: naavis - 27.08.2010, 10:59:13
Nyt kun tarkemmin ajattelen, niin näissä jutuissa voi kyllä sinänsä olla perää, että massa kaareuttaa avaruutta ja avaruuden kaareutuminen hidastaa ajan kulkua. Näin ollen myös maan keskipisteessä ajan pitäisi kulkea hitaammin kuin pinnalla.

Ja nyt kun minäkin asiaa tarkemmin ajattelen niin alkoi herätä epäilyksiä.  Loppujen lopuksi kaikki Maan ytimen painovoimakentästä sanomani perustuu newtonilaiseen painovoimaan.  Kaizu, RJ, Jaava ... ?  Vai kysytäänkö T&A:n K&V-palstalla?  :azn:

Edit: wikipediasta http://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_general_relativity

Lainaa
Taken together, in general relativity it is mass, energy, momentum, pressure and tension that serve as sources of gravity: they are how matter tells spacetime how to curve. In the theory's mathematical formulation, all these quantities are but aspects of a more general physical quantity called the energy-momentum tensor.

Minun vahvennus, ja nyt epäilen jo ihan tosissani!
jussi kantola / oulun arktos
CG-5 GOTO + KWIQ-guiding + SW80ED  // 10" dobson // canon eos 450d mod & 400d / ASI 120MM
http://astrobin.com/users/jussi_k_kojootti/
http://oulunarktos.fi/

Kaizu

Aika-avaruuden kaarevuus ilmenee kappaleelle kiihtyvyytenä. Heikossa gravitaatiokentässä ja pienillä nopeuksilla sekä  Newtonin että Einsteinin teoriat antavat laskennassa saman tuloksen, ero on enemmänkin periaatteellinen ja koskee gravitaation olemusta.
Kumikalvoanalogiaa käytetään helpottamaan suhteellisuusteorian mukanaan tuoman avaruuden kaarevuuden ymmärtämistä.
Kumikalvo selviää hyvin maan gravitaation kuvaamisesta. Maan "gravitaatiokaivon" syvin kohta ei ole piste vaan rengas jonka säde on n. 3500km. Siitä sisään tai ulospäin mentäessä garivitaatio heikkenee  ollen maapallon keskipisteessä sama kuin kaukana avaruudessa. Säde tulee siitä että puolet maan massasta on sisäpuolella ja puolet ulkopuolella. Maan ytimen tiheys on melko paljon suurempi kuin Maan keskimääräinen tiheys, muistelen että jossakin kymmenen kieppeillä.

Suhteellisuusteorian "kummallisuudet" aiheutuvat Einsteinin hullusta ideasta että valon nopeus on kaikille sama, liiketilasta riippumatta. Se sotii maalaisjärkeä vastaan koska maalaisjärki on kokemuksen kautta oppinut summaamaan nopeudet.
Suhteellisuusteoriaa on perinteisesti valaistu junassa tapahtuvilla esimerkkitapauksilla, eli kun juna kulkee 100km/h ja konduktööri kävelee kohti veturia 3km/h liikku hän rataan nähden 103km/h. Niin kuin nykyään tiedämme, tämä ei ole totta. Oikea vastaus on pikkuisen vähemmän. Kun juna lähestyy meitä puolella valon nopeudesta ja valaisee meitä niin Newtonilaisen fysiikan mukaan oletamme että junasta tuleva valo osuu meihin 1,5 kertaisella valon nopeudella. Mittaukset ovat osoittaneet että näin ei käy ja saadaksemme mittaustuloksen vastaamaan todellisuutta joudumme muuttamaan kellot ja mittakepit suhteellisiksi niin että kellon käynti riippuu liikenopeudesta ja mitan pituus liikenopeudesta ja suunnasta. Hendrik Lorentz keksi koordinaattijärjestelmien muunnoksen jolla mittaukset saadaan täsmäämään.

Suosittelen pohdiskelijoille luettavaksi George Gamovin hauskaa kirjaa "Herra Tompkins fysiikan ihmemaassa".

Kaizu
Kai Forssen

jussi_k_kojootti

OK.  Epäilykseni hälvenevät.  Tyypillinen kumikalvoanalogia antaa kuitenkin väärän kuvan tähden tai Maan painovoimakentästä, jos sen tulkitsee klassisen gravitaation "kaivona".  Eikä ole ensimmäinen kerta kun harhautan itsenikin tässä kohtaa -- siksi kai olen yleensä täälläkin maininnut että "gravitaatiokaivon" käsitteen kanssa on syytä olla varovainen.  Muistaisi vaan itse olla.

Alla havainnollistava kuva (sopivasti rajattu sinc-funktio, ei mittakaavassa) planeetan aiheuttamasta gravitaatiokentän voimakkuudesta.  Oleellista on, että

- keskipisteessä painovoima on minimissään
- ulospäin tultaessa saavutetaan jollakin etäisyydellä r painovoiman maksimiarvo (ko. planeetan painovoimakentässä)
- edelleen ulospäin tultaessa painovoimaa alkaa pienenemään
jussi kantola / oulun arktos
CG-5 GOTO + KWIQ-guiding + SW80ED  // 10" dobson // canon eos 450d mod & 400d / ASI 120MM
http://astrobin.com/users/jussi_k_kojootti/
http://oulunarktos.fi/

vesa k

Jos jatketaan tästä esim kuun suuntaan, tulee kohta, jossa kuun vetoovoima ja maan vetovoima ovat samat. Tähän syntynee myös samanlainen kuoppa ?
Mitä, jos lähestytään esim mustaa aukkoa, mennäänkö siinä kokoajan "alamäkeä, kunnes pudotaan kuoppaan ?? Gravitaatiohan kasvaa koko ajan lähestyttäessä (vaikea sana) aukkoa.
Ei ihan ymmärrä. Massa aiheutta vääristymän eli ns. kuopan. Miten nyt se kuoppan pohja voi olla siinä, missä gravitaatio on minimissään ?
Ketarax sanoit painovoiman olevan minimissä keskipisteessä. Onko minimi = 0 kun gravitaatiovoimat kumoajat toisensa. Eli kuun ja maan välissä on yhtä syvä vääristymä kuin maan keskipisteessä.

vesa:k
"Logic will get you from A to B. Imagination will take you everywhere" Albert Einstein

mistral

Lainaus käyttäjältä: vesa k - 29.08.2010, 11:12:31
Jos jatketaan tästä esim kuun suuntaan, tulee kohta, jossa kuun vetoovoima ja maan vetovoima ovat samat. Tähän syntynee myös samanlainen kuoppa ?
Mitä, jos lähestytään esim mustaa aukkoa, mennäänkö siinä kokoajan "alamäkeä, kunnes pudotaan kuoppaan ?? Gravitaatiohan kasvaa koko ajan lähestyttäessä (vaikea sana) aukkoa.
Ei ihan ymmärrä. Massa aiheutta vääristymän eli ns. kuopan. Miten nyt se kuoppan pohja voi olla siinä, missä gravitaatio on minimissään ?
Ketarax sanoit painovoiman olevan minimissä keskipisteessä. Onko minimi = 0 kun gravitaatiovoimat kumoajat toisensa. Eli kuun ja maan välissä on yhtä syvä vääristymä kuin maan keskipisteessä.

vesa:k

Tuossa Ketaraxin yllä tuomissa linkeissä on kaksi eri kuvaajaa: kumikalvoanalogiassa kuvataan potentiaalia kun taas "sink funktiossa" g-voimaa
Kummallakin kuvaajalla voi kuvata esim. 10 milj. kilometriä pitkän janan joka läpäisee maan ja kuun ytimen. Kumman kuvaajan valitsisit? Jos valitset kumikalvon, maan ja kuun väliin jää harjanne joka on lähes yhtä korkea kuin ulkoavaruus. Jos valitset "sink-funktion", maan ja kuun väliin jää laakso joka on yhtä korkea kuin ulkoavaruus.

Mustan aukon tapauksessa kk tuottaa hyvin syvän kuopan kun taas s-f tuottaa hyvin korkean vuoren. Sitä en tiedä onko tällä vuorella kraateria.


vesa k

Hei

Jotenkin toi sink-funktio ajattelu sopinee paremmin: kuvaajassa selvästi lähstyttäessä esim maapalloa g-voimat kasvavat. Kun aletaan kaivautua maan sisään g-voimat pienenevät kunnes saavutetaan maan keskipiste.


Kiitos
Vesa_k
"Logic will get you from A to B. Imagination will take you everywhere" Albert Einstein

GaryP

Tapa jolla asia esitetään voi vaikuttaa vastauksiin. Esim minulle tuo g-voimien kasvaminen maapalloa lähestyttäessä tarkoittaa sitä että lähestyvä kappa hidastuu ilmakehän vaikutuksesta, ja sen vuoksi mm. sisällä tuo jarrutus tuntuu painovoimana. Jos taas lähestytään jotain kappaletta jossa ei ole ilmakehää, eikös se ole silloin vapaata putoamista ilman g-voimia? Voimien vaikutussuunnat riippuvat siis toki siitä, onko meillä kohteena voimakas painovoimakenttä, vai onko meillä takana työntövoima (moottori) joka aiheuttaa sisäiset g-voimat. Sitten vielä nämä vapaasti kuljeskelevat kappaleet toistensa vaikutusalueilla, niistä varmaan on kyse tässä tapauksessa? Paitsi se kaivautuja maanpinnalla johon kohdistuu voima eri tavalla.

Saa sen pään näinkin sekaisin, sotkemalla toisten ajatukset omiinsa.

Kumikalvoanalogia ei ole omiaan minulle, sillä saa asioista liian yksinkertaisen kuvan, se taas aiheuttaa sen etten tajua uusia kertomianne asioita oikein.
:undecided:

Kari
Kari Pulkkinen
Espoo, Finland

Harrastus uudelleen lämpiämässä...

vesa k

Samaa mieltä kumikalvoanalogiasta.
Tämä toinen sink-funktio antaa taasen hyvän kuvan g voimista.
Jos meillä on kulkuneuvo ( avaruusalus) niin meidän tulee ylimääräisen energian avulla kiertää eteemme tulevat g-voimat eli korkeat planeettojen aiheuttamat vuoret.
Toisaalta g voimat ovat vetovoimia ja niitä hyväksikäyttäen voimme kiihdyttää kulkuneuvoamme. Mutta poistuminen niiden vaikutuspiiristä tarvitsee lisäenergiaa. Eikö näin.
Minkähänlainen kuvaaja saadaan kun lisätään 3. ja 4. ulottovuus tähän sink-funktioon ?
Mainitsit Ketarax, että aika 4:nä ulottuvuutena ei ole kuin x,y ja z akselit.
Mitä ominaisuuksia ajalla on koordinaatistossa; suunta, nopeus, pituus ????

t vesa_k
"Logic will get you from A to B. Imagination will take you everywhere" Albert Einstein